4 - (ITA - 96) Seja a Î [0, p /2], tal que sen a + cos a = m .
Então, o valor de  é:

a) 2(m² - 1) / m(4 - m²)
b) 2(m² + 1) / m(4 + m²)
c) 2(m² - 1) / m(3 - m²)
d) 2(m² - 1) / m(3 + m²)
e) 2(m² + 1) / (3 - m²)

Solução:
Quadrando ambos os membros da expressão dada, vem:
(sen a + cos a )² = m² . Desenvolvendo, fica:
sen² a + 2 . sen a . cos a + cos² a = m²
Simplificando, vem: 1 + 2 . sen a . cos a = m² 1 + sen 2a = m² e, portanto,
sen 2a = m² - 1
Seguindo o mesmo raciocínio, vamos elevar ambos os membros da expressão dada ao cubo:
Lembrete: (a + b)³ = a³ + b³ + 3(a +b) . ab
Logo:
(sen a + cos a )³ = m³ . Desenvolvendo, vem:
sen³ a + cos³ a + 3 (sen a + cos a ) (sen a . cos a ) = m³
Lembrando que sen a + cos a = m e sen a . cos a = sen 2a / 2, e substituindo, fica:
sen³ a + cos³ a = m³ - 3 (m) . (m² - 1) / 2
Substituindo esses valores encontrados na expressão dada, teremos então a letra C

5 - Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x?

Solução: 
Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem:
Para x: -1 £ 4x £ 1 Þ -1/4 £ x £ 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4].
Para y: Da definição vista acima, deveremos ter -p /2 £ y £ p /2.
Resposta:  D = [-1/4, 1/4] e Im = [-p /2, p /2].

6 - Calcular o valor de y = sen(arc tg 3/4).

Solução: 
Seja w = arc tg 3/4. Podemos escrever: 
tgw = 3/4 Þ senw / cosw = 3/4 Þ senw = (3/4).cosw
Da relação fundamental da Trigonometria, sen²w + cos²w = 1, vem, substituindo o valor de senw:
[(3/4).cosw]² + cos²w = 1 9/16.cos²w + cos²w = 1 25/16 . cos²w = 1
cos²w = 16/25 Þ cosw = ± 4/5.
Como w = arctg 3/4, sabemos da definição da função arco tangente que w varia no intervalo
 –90º a +90º , intervalo no qual o coseno é positivo.
Logo, cosw = + 4/5.
Mas, senw = (3/4).cosw = (3/4).(4/5) = 3/5 , e portanto:
y = sen(arctg 3/4) = senw = 3/5, que é a resposta procurada.